A
B
C
Ç
D
E
F
G
Ğ
H
I
İ
J
K
L
M
N
O
P
R
S
Ş
T
U
Ü
V
Y
Z
Q
W
X
+ Ekle
BAĞINTI5

BAĞINTI5

  

BAĞINTI

1)SIRALI İKİLİ

 

         X ve y gibi iki nesnenin sırası önemli olarak (x,y) şeklinde gösterimine sıralı ikili denir.

 

ÖRNEK 1

 

(3,5) sıralı ikilidir.  

 

UYARI 1

 

İkilide sıra önemli olduğu için a=b ise (a,b) ≠ (b,a)’dir.

 

UYARI 2

 

(a,b) ikilisi ile {a,b} kümesi farklıdır.İkilide sıra önemlidir.Kümede ise öğenin sırasının önemi yoktur.Yani (a,b) ≠{a,b}’dir.

 

UYARI 3

 

(a,b,c)’ye sıralı üçlü,(a,b,c,d)’ye sıralı dörtlü,......,(x1,x2,x3,...,xn)’e sıralı n’li denir.

                  (x,y)’de x’e birinci bileşen yada apsis,

                                y’e ikinci bileşen yada ordinat denir.

 

2)SIRALI İKİLİNİN EŞİTLİĞİ

 

         İki sıralı ikilinin birinci bileşenleri birbirine ve ikinci bileşenleri de birbirine eşit ise bu sıralı ikililer eşittir. Yani (a,b) = (c,d) Û (a=c Ù b=d)’dir.

 

ÖRNEK 1                                       ÇÖZÜM 1

 

(2x-1,x.y) = (7,20) ise x + y = ?           2x-1 = 7 Þ 2x = 8 Þ  x = 4       x.y = 20 Þ 4y = 20 Þ y = 5

                                                             (x,y) = (4,5) Þ x + y = 4 + 5 = 9

 

ÖRNEK 2                                       ÇÖZÜM 2          

 

(2x,4) = (y, x) ise y kaçtır?                  (2x,4) = (y, x) Û (2x = y Ù 4 = x)

                                                             4 = x Þ x = 64     y = 2x Þ y = 2.64 = 128’dir.

UYARI 1

 

Sıralı n’lilerin eşitliliğinde (x1,x2,x3,....,xn) = (y1,y2,y3,...,yn ) Û x1 = y1 Ù x2 = yÙ.... Ù xn = yn ‘dir.

 

 

 

 

 

 

3)İKİ ALT KÜMENİN KARTEZYEN ÇARPIMI

 

         A ve B iki küme olmak şartıyla birinci bileşeni A kümesinden,ikinci bileşeni B kümesinden alınarak elde edilen tüm sıralı ikililerin kümesine A ile B’nin kartezyen çarpımı denir ve AxB şeklinde gösterilir. AxB={(x,y)| xÎÙ  yÎB}

 

UYARI 1

 

AxA=A2   AxAxAx.....xA=An şeklinde gösterilir.

                        n tane  

ÖRNEK 1

 

A={0,1,2} ve B={2,4} kümeleri için AxB’yi ve BxA’yı yazınız.Grafiklerini çiz.Şema ile gösteriniz.

 

ÇÖZÜM 1

 

AxB={(0,2),(0,4),(1,2),(1,4),(2,2),(2,4)} Þ Liste yöntemi ile

BxA={(2,0),(2,1),(2,2),(4,0),(4,1),(4,2)} Þ Liste yöntemi ile

 

UYARI 2

 
AxB¹BxA

 

ÖRNEK 2                                                ÇÖZÜM 2

 

AxB={(0,2)} BxA={(2,0)}                       AxB¹BxA olduğuna dikkat ediniz.Yani kartezyen çarpımın

                                                                   değişme özelliği yoktur

 

ÖRNEK 3                                                ÇÖZÜM 3

 

A={x:-2 £ x £ 3} B={1} kümeleri için      AxB={(-2,1),(-1,1),(0,1),(1,1),(2,1),(3,1)} 

         AxB’yi yazınız.

 

4)KARTEZYEN ÇARPIMIN ÖZELLİKLERİ

 

1)AxA=A2

2)AxÆ=Æ

3)A¹B ise AxB¹BxA Þ Yani kartezyen çarpımın değişme özelliği yoktur.

4)s(A) = a , s(B) = b Þ s(AxB) = s(A) x s(B) = a . b = s(BxA)  VEYA  s(AxA) = a . a = a2

5)(AxB)xC = Ax(BxC) = AxBxC

6)Dağılma özelliği:

       a)Ax(BÈC)=(AxB) È (AxC)

       b)Ax(BÇC)=(AxB) Ç (AxC)

7)AxB=Æ Þ A=Æ Ú B=Æ

8)AÌB Þ (AxC) Ì (BxC)

9)(AÌC Ú CÌD) Þ (AxC) Ì (BxD)

 

5)DİK KOORDİNAT SİSTEMİ

 

         Bir sıralı ikilinin birinci bileşenine A noktasının apsisi,ikinci bileşenine A noktasının ordinatı, sıralı ikiliye A noktasını koordinatları denir.

         Yatay doğruya apsis düşey doğruya ordinat ekseni,eksenlerin bulunduğu düzlemede koordinat düzlemi veya analitik düzlem denir.

         Apsis ve ordinat ekseni bu eksenlerin bulundukları koordinat düzlemi ile birlikte dik koordinat sistemini oluştururlar.Eksenlerin kesiştiği O(sıfır) noktasına başlangıç (Orijin) noktası denir.

 

ÖRNEK 1

 

A={-1,0,1,2} olduğuna göre AxA kümesinin noktalarını dışarıda bırakmayan en küçük yarıçaplı çemberin yarıçapı kaç birimdir?

 

ÇÖZÜM 1

 

AxA={(-1,-1), (-1,0), (-1,1), (-1,2),(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2),(1,-1),(1,0),(1,1),(1,2),(2,-1),(2,0),(2,1),(2,2)}

                                   AxA kümesini grafiği yanda çizilmiştir.AxA’nın noktalarını dışarıda bırakmayan

En küçük çemberin çapı  KLP üçgeninde pisagor teoremi uygulanırsa;

 

½KL½= Ö32 +32 = 3Ö2 br   r = 1 . 3Ö2 = 3Ö2

                                                 2                2

6)BAĞINTI

 

       A ve B boş olmayan kümeleri için AxB kümesinin her alt kümesine A’dan B’ye bir bağıntı denir. b simgesi ile gösterilir.

         b Ì AxB Û b: A’dan B’ye bağıntıdır.b bağıntısı için (x,y)Î b ise bu durum ybx ile gösterilir ve y elemanı b bağıntısı ile x elemanına bağlıdır diye okunur.

 

UYARI 1

 

b Ì AxA ise b bağıntısına A’dan A’ya bir bağıntı yada kısaca A’da bir bağıntı denir.

 

ÖRNEK 1

 

A={0,1,2,3,4} kümesi veriliyor.Buna göre aşağıdaki bağıntıları liste yöntemi ile yazınız.

1) b1={(x,y)ÎAxA: y = x2}                   2) b2={(x,y)ÎAxA:x böler y}

 

ÇÖZÜM 1

 

1) b1={(0,0),(1,1),(2,4)}          2)b2={(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,0),(2,2),(2,4),(3,0),(3,3),(4,0),(4,4)}

 

ÖRNEK 2

 

A={0,1,2,3,4,5}’da tanımlı b={(x,y)½x + y = 7} bağıntısını liste yöntemi ile yazınız.

 

ÇÖZÜM 2

 

b= {(2,5),(3,4),(4,3),(5,2)}    

7)BAĞINTI SAYISI

 

         A ve B  boş olmayan iki küme olmak üzere s(A)=a  s(B)=b ise AxB’nin eleman sayısı a.b olur.

AxB’nin 2a.b tane alt kümesi olduğundan A’dan B’ye  2a.b tane bağıntı vardır.(2s(A).s(B))

 

ÖRNEK 1

 

A={a,b,c} B={0,1} kümeleri veriliyor.A’dan B’ye en fazla kaç bağıntı yazılır?

 

ÇÖZÜM 1

 

s(A)=3  s(B)=2   Bağıntı sayısı = 2s(A).s(B)  = 23.2 = 26 = 64

 

ÖRNEK 2

 

A={a,b,c}  B={1,3} ise

1)A’dan B’ye kaç tane bağıntı yazılır?

2)A’dan B’ye yazılan kaç tane 3 elemanlı bağıntı vardır?

3)A’dan B’ye yazılan 4 elemanlı bağıntılardan kaç tanesinde (a,3) bulunur,(b,1) bulunmaz.

 

ÇÖZÜM 2

 

AxB={(a,1),(a,3),(b,1),(b,3),(c,1),(c,3)}

1)2s(A).s(B)  = 23.2 = 26 = 64

2)(63 ) = 6.5.4 = 20

               3.2.1

3)(a,3) elemanı olduğundan ve (b,1) elemanı olmadığından

    {(a,1),(b,3),(c,1),(c,3)} kümesinden 3 eleman almalıyız. (43 ) = 4 tane bağıntı yazılır.

 

8)BAĞINTI ŞEMASI VE GRAFİĞİ

 

-b A’da bir bağıntı ,(x,y)Îb olsun.x ve y elemanları venn şemasında x.® y. şeklinde okla birleştirilir.

-(x,x)Îb ise bu durum venn şemasında .x2 şeklinde gösterilir.

-b bağıntısına ait elemanların birinci bileşeni yatay eksende,ikinci bileşeni düşey eksende olacak şekilde oluşturulan şemaya bağıntının kartezyen şeması yada grafiği denir.

                                                                                             

       
 
   
 

Oval: a.
b.
c.
ÖRNEK 1                                                                           ÖRNEK 2

A                          B

 

 

 

 

    

Oval: 	1.
3.		2.
4
.
ÖRNEK 3
       
   

Yanda verilen b bağıntısını liste yöntemi ile yazınız.

 
 


       
   
 


ÇÖZÜM 3

 

b={(1,2),(2,2),(2,4),(3,1),(3,3),(4,3)}        

 

9)BİR BAĞINTININ TERSİ

 

         b A’dan B’ye bir bağıntı ise b’daki ikililerin birinci ve ikinci bileşenlerinin yerlerini değiştirerek B’den A’ya bir bağıntı elde edersek bu bağıntıya b’nın ters bağıntısı denir ve b-1 ile gösterilir.Kısaca;

 

b-1={(y,x)| (x,y)Îb}

        

ÖRNEK 1                             ÖRNEK 2

 

b={(1,3),(1,4),(2,4)}               A={1,2,3,4,5,6) ve A’da bir bağıntı b={(x,y)| y = 2x, (x,y)ÎA} ise b-1=?

b-1={(3,1),(4,1),(4,2)}             b={(1,2),(2,4),(3,6)} Þ b-1={(2,1),(4,2),(6,3)}

 

10)BAĞINTININ ÖZELLİKLERİ

 

   A)YANSIMA ÖZELLİĞİ

 

         b A’da tanımlı bir bağıntı olsun."x Î A için (x,x)Îb ise b bağıntısına yansıyan bir bağıntı denir.

 

UYARI 1

 

s(A)=n ise A kümesinde tanımlı bağıntılardan 2n2-n tanesi yansıyandır.

 

UYARI 2

 

b Ì AxA, b={(x,y)|xÎA,yÎA} bağıntısının yansıyan olduğunu anlamak için “y” yerine “x” konur. Çıkan sonuç A kümesinde daima doğru ise b yansıyandır.EN AZ bir eleman için yanlış oluyorsa b bağıntısı yansıyan değildir.

 

ÖRNEK 1

 

A={0,1,2} ve A’da tanımlı b={(x,y)| y = x2 + x} bağıntısı yansıyanmıdır?

 

ÇÖZÜM 1

 

y = x2 + x ‘de y yerine x koyalım                              O halde A kümesinin 1 ve 2 elemanları için bu       

x = x2 + x Þ x2 = 0 Þ x=0                                eşitlik  yanlıştır.b bağıntısı yansıyan bağıntı değildir.

   B)SİMETRİK ÖZELLİĞİ

  

      b A’da tanımlı bir bağıntı olsun."(x,y)Îb ve (y,x)Îb oluyorsa b bağıntısı simetrik bir  bağıntı denir.

 

UYARI 1

 

b simetrik bir bağıntı ise (x,x)Îb iken (x,x)Îb olacağından   b-1= b’dır.

 

UYARI 2

s(A)=n ise A kümesinde tanımlı bağıntılardan 2n2+n  tanesi simetrik bağıntıdır.

 

UYARI 3

 

 
 


 
 


 
 


Grafik olarak bir bağıntının simetrik olabilmesi için bağıntını her noktasının y=x doğrusuna göre simetriğinin olması gerekmektedir.

ÖRNEK 1

 

b={(x,y)| x + y = 4, xÎN, yÎN} bağıntısını yazıp simetrik olup olmadığını gösteriniz

 

ÇÖZÜM 1

 

b={(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0)} olduğu için simetrik özelliği vardır.

 

C)TERS SİMETRİK ÖZELLİĞİ

 

         b bağıntısı A kümesimde tanımlı bir bağıntı olsun x¹y ve (x,y)Îb iken (y,x,)Ïb ise b bağıntısı ters simetriktir. Bu tanıma göre bileşenleri farklı olan ikililerden hiç birinin tersi bağıntıda yoksa o bağıntı ters simetrik bir bağıntıdır.

 

UYARI 1

 

Bileşenleri eşit olan ikililer bulunabilir.( ["(x,y)Îb için (y,x)Ï b Û x = y] )

 

UYARI 2

 

Ters simetrik bir bağıntının grafiğinde köşegene göre simetrik öğe yoktur.Köşegenlerin üzerindeki öğelerin bulunması ters simetriyi bozmaz.

 

UYARI 3

Simetrik olmayan bir bağıntının ters simetrik olması zorunlu değildir.

ÖRNEK 1

 

A={3,5,7} kümesinde tanımlı b={(x,y)| x £ y} bağıntısını ters simetrik özelliğinin olduğunu gösteriniz.

 

ÇÖZÜM 1

 

b={(3,3),(3,5),(3,7),(5,5),(5,7),(7,7)} Þ (3,3)Îb,(5,5)Îb ve (3,5)Îb iken (5,3)Ïb,(3,7)Îb iken (7,3)Ïb, (5,7)Îb iken (7,5)Ïb olduğundan ters simetriktir.

 

D)GEÇİŞME ÖZELLİĞİ

 

b bağıntısı A kümesinde tanımlı bir bağıntı olsun.

["(x,y)Îb Ù "(y,z)Îb için (x,z)Îb] oluyorsa b bağıntısı geçişkendir.

 

UYARI 1

 

(x,y)Îb b’nın y ile başlayan öğesi yoksa bu durum geçişkenliği bozmaz.

 

UYARI 2

Geçişken bir b bağıntısında (x,y) ve (y,z) varken (x,z) de olmalı.(x,z)’nin olmadığı EN AZ bir örnek gösterilirse b bağıntısı geçişken değildir.

 

ÖRNEK 1

A={1,2,3,4,5,6} kümesinde tanımlı b={(1,1),(1,2),(1,3),(2,3),(6,5)} bağıntısı geçişkenmidir?

 

ÇÖZÜM 1

(1,1)Îb Ù (1,2)Îb Þ (1,2)Îb                              (1,3)Îb Ù 3 ile başlayan eleman yok

(1,1)Îb Ù (1,3)Îb Þ (1,3)Îb                              (2,3)Îb Ù 3 ile başlayan eleman yok

(1,2)Îb Ù (2,3)Îb Þ (1,3)Îb                              (6,5)Îb Ù 5 ile başlayan eleman yok

                                O HALDE b BAĞINTISI GEÇİŞKENDİR.

 

11)DENKLİK BAĞINTISI

       

b A kümesi üzerinde tanımlı olsun.Eğer b’nın yansıma,simetri,geçişme özellikleri varsa b bağıntısı  bir denklik bağıntısıdır.      

 

ÖRNEK 1

 

A={1,a,b} kümesinde tanımlı b={(1,1),(1,a),(1,b),(a,a),(a,b),(a,1),(b,b),(b,a),(b,1)} bağıntısı bir denklik bağıntısımıdır?

 

 

 

 

 

 

 

 

ÇÖZÜM 1

 

a)YANSIMA ÖZELLİĞİ                                      GEÇİŞME ÖZELLİĞİ

 

1ÎA Þ (1,1)Îb                                                (a,a)Îb Ù (a,1)Îb Þ (a,1)Îb                

aÎA Þ (a,a)Îb     YANSIMA ÖZELLİĞİ       (a,a)Îb Ù (a,b)Îb Þ (a,b)Îb         

bÎA Þ (b,b)Îb                  VAR                     (b,b)Îb Ù (b,1)Îb Þ (b,1)Îb     GEÇİŞME ÖZELLİĞİ       

                                                                           (b,b)Îb Ù (b,a)Îb Þ (b,a)Îb                  VAR

                                                                           (1,a)Îb Ù (a,a)Îb Þ (1,a)Îb

 

SİMETRİ ÖZELLİĞİ                                     

 

(1,a)Îb Þ (a,1)Îb                   

(1,b)Îb Þ (b,1)Îb                  

(a,b)Îb Þ (b,a)Îb    SİMETRİ ÖZELLİĞİ       Þ           b bağıntısı bir denklik bağıntısıdır.

(a,1)Îb Þ (1,a)Îb                VAR

(b,a)Îb Þ (a,b)Îb

(b,1)Îb Þ (1,b)Îb
Þ Geri kalanlar uyuyor
NOT

Yansıma özelliği olan bağıntılar simetrik özelliğini bozmaz

 

12)DENKLİK SINIFLARI

 

         b A’da bir bağıntı olsun.Herhangi bir xÎA’ya b bağıntısı ile bağlı olan A’nın tüm y elemanlarının kümesine x’in denklik sınıfı denir.x ile gösterilir.Buna göre x = {y | (x,y)Îb }’dır.

         (x,y) Î b ise x ve y elemanları b denklik bağıntısına göre denktir.x ile y’nin denkliği

x º y (mod b) biçiminde gösterilir.Örneğin b denklik bağıntısına göre 4ile 10 denktir.Bunu

4 ile 10 denktir.Bunu 4 º 10 (mod 3) biçiminde yazınız.

 

13)DENKLİK SINIFININ ÖZELLİKLERİ      

 

1)Birbirine denk olan 2 elemanın denklik sınıfları aynıdır.              1 º 4 (mod 3)

2)Birbirine denk olmayan 2 elemanın denklik sınıflarının kesişimi boş kümedir.        1Ç2=Æ

3)Denklik sınıflarının birleşimi A kümesini verir.       1È2È3=A

 

ÖRNEK 1

 

A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}kümesinde tanımlı b={(x,y) | x–y = 2.k Ù kÎZ }bağıntısının özelliklerini yazınız.

 

ÇÖZÜM 1

 

a) Sıfır 2’nin sıfır katıdır.Buna göre;

         1-1=2.k Þ 0=2.k Þ (1,1)Îb       Þ k tamsayı olmak üzere "xÎA, x-x= 2.k Þ 0=2.k Þ (x,x)Îb olduğundan b’nın yansıma özelliği vardır.

b)(x,y)Îb  Þ x – y = 2.k  Þ -1.(x – y) = 2.k.(-1)  Þ  y – x  =  2.-k  Þ  (y,x)Îb

ß

Simetri özelliği vardır.

c) (x,y)Îb  Ù (y,z)Îb Þ (x,z)Îb      (x,y)Îb Þ x – y = 2.k

                                                           (y,z)Îb Þ y – z = 2.t

       x – z = 2(k + t) Þ x – z = 2p Þ  (x,z)Îb        

b’nın yansıma,simetri,geçişme özellikleri olduğundan                             ß

                b denklik bağıntısıdır.                                                        Geçişme özelliği vardır.

 

14)SIRALAMA BAĞINTISI

 

         b A’da tanımlı bir bağıntı olsun.b’nın yansıma,ters simetri,geçişme özellikleri varsa b bir sıralama bağıntısıdır.Eğer b bağıntısı kümenin bütün elemanlarını sıralıyorsa tüm sıralama bağıntısı, bazı elemanları sıralıyorsa kısmi sıralama bağıntısı denir.

 

ÖRNEK 1

 

A={0,1,2,3} kümesi üzerinde tanımlı b={(x,y) : x £ y} bağıntısı tanımlanıyor.b’nın sıralama bağıntısı olduğunu gösteriniz.

 

ÇÖZÜM 1

 

b={(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)}

a) (0,0),(1,1),(2,2),(3,3)Îb olduğundan yansıyandır.

b) x < y iken y < x olamayacağından (x,y)Îb iken (y,x)Ïb’dır.b ters simetriktir.

c) x £ y  ve y £ z iken x £ z olduğundan (x,y)Îb ve (y,z)Îb iken (x,z)Îb’dır.b geçişkendir.

 

                                   SONUÇ: b sıralama bağıntısıdır.

 

ÖRNEK 2

 

A={1,2,4} kümesinde tanımlı b={(x,y) : x  böler  y} bağıntısının tam sıralama bağıntısı olduğunu gösteriniz.

 
ÇÖZÜM 2

 

b={(1,1),(1,2),(1,4),(2,2),(2,4),(4,4)}

   a)Yansıma özelliği Þ Kümenin her elemanı kendisini böldüğünden  b yansıyandır

   b)Ters simetrik özelliği Þ (2,4)Îb iken (4,2)Ïb olduğu için b ters simetriktir.

   c)Geçişme özelliği Þ (1,2)Îb  iken (2,4)Îb, (1,4)Îb iken (4,4)Îb (diğerlerinde de aynı) olduğundan geçişme özelliği vardır.

     Ayrıca A’nın her elemanı b’da bulunduğundan b tam sıralama bağıntısıdır.

 
ÖRNEK 3

 

Kan grupları kümesi={0,A,B,AB} kümesinin kısmi sıralama bağıntısı olduğunu gösteriniz.

 

 

 

 

 

Oval:             0
A	           B
AB
ÇÖZÜM 3

 

       
   
 


b={(0,0),(A,A),(B,B),(AB,AB),(0,A),(0,AB),(A,AB),(0,B),(B,AB)}    b’nın yansıma,ters simetri,geçişme özellikleri vardır.                     

 Kan grubu A ve B olan insanlar birbirlerinden kan 

       
   


      alamadıkları için kısmi sıralama bağıntısıdır.                             

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

KAYNAKÇA

 

*DERS KİTABI, LİSELER İÇİN MATEMATİK 1, M.E.B, ANKARA 1994

 

*DR.MUHAFIZ NECATİ,DR.HASAN KARA, ÜNİVERSİTEYE HAZIRLIK OKULA YARDIMCI LİSE 1 MATEMATİK, YÖNTEM YAY., ANKARA 1993, 9.BASIM

 

*AYDIN NESİBE,KAFALI YILMAZ,ÖZKÖSELER ÖKKEŞ, ÖYS MATEMATİK, AYDIN YAY., ANKARA 1992

 

*DERMAN ZEKİ,GÜLMEZ SERDAR,ÖZBEK MEHMET,ÖSS’YE HAZIRLIK OKULA YARDIMCI MATEMATİK 1, ZAFER YAY., İSTANBUL 1999

 

*ALTINÖZ AYDIN, MATEMATİK 1, MEGA YAY.,  İSTANBUL 1992

 

*ZİRVE DERGİLERİ  CİLT 14-15, GÜVENDER YAY., ANKARA 1994

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T.C.

 

MİLLİ EĞİTİM BAKANLIĞI

 

KONYA İL MİLLİ EĞİTİM MÜDÜRLÜĞÜ

 

SELÇUKLU ANADOLU LİSESİ

 

 

 

 

ÖDEVİN KONUSU

 

BAĞINTI VE ÖZELLİKLERİ

 

 

 

 

 

ÖDEV DANIŞMANI

 

MEHMET ÖZDEMİR

 

 

 

 

 

 

HAZIRLAYAN

 

SERHAT OSMAN DOĞAN

 

9-A           NO:18

 

 

 

 

 

 

 

KONYA

 

2001-2002

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

  • diline pelesenk olmak ne demek
  • dillere pelesenk olmuş ne demek
  • pelesenk
  • pelesenk ne demek
  • Pelesenk Ne Demek – Pelesenk Sözlük Anlamı
  • pelesenk olmak ne demek
  • pelesenk olmak ne demektir
  • pelesenk olmuş ne demek
  • Yüksek Yüksek Tepelere sözleri
  •   Ad Soyad
      Yorum